事业单位数量关系考试要点:利用余数问题的性质快速解题
来源:易贤网 阅读:91516 次 日期:2017-08-24 09:16:26
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在行测考试中,常常会考察一些余数问题,但往往余数问题的求解不是简简单单就能搞定的,那就需要大家有一定的方法和技巧,接下来就让我们一起学习一下有关余数问题的一些性质。

一、同余概念

两个整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同,就称a和b对于m同余。例:21÷4余1,17÷4余1,所以17和21对于4同余。

二、同余特性

(1)余数的和决定和的余数;

例:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1。

(2)余数的差决定差的余数;

例:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7 除以5的余数等于2,即两个余数的差 3-1。

(3)余数的积决定积的余数;

例: 23, 16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 23×16 除以 5 的余数等于 3×1=3。

(4)余数的幂决定幂的余数。

例:求 20122012÷5的余数。

分析:一个 2012除以 5余 2,根据余数的积决定积得余数,所以20122012÷5余数为 22012 ,因为对于此题,余数小于5,所以 22012还要继续除以 5 求余数。

三、剩余定理

1、一般剩余问题的通用形式

一个数除以a余x,除以b余y,除以c余z,其中a、b、c两两互质,求满足该条件的最小数。

2、解法:逐步满足法

【例1】:三位运动员跨台阶,台阶总数在 100-150 级之间,第一位运动员每次跨 3 级台阶,最后一步还剩 2 级台阶。第二位运动员每次跨 4 级台阶,最后一步还剩 3 级台阶。第三位运动员每次跨 5 级台阶,最后一步还剩 4 级台阶。问:这些台阶总共有多少级?

A.119 B.121 C.129 D.131

【答案】:A。

【解析】:由题意得,若多 1 级台阶,则运动员每次跨 3、 4、 5 级,均正好跨完所有台阶,即台阶数加 1 是 3、 4、 5 的倍数,所以台阶数可表示为 60n-1(n 为正整数),结合选项可知答案为 A。

【例2】:三位数的自然数 N 满足:除以 6 余 3,除以 5 余 3,除以 4 也余 3,则符合条件的自然数 N 有几个?

A.8 B.9 C.15 D.16

【答案】:C。

【解析】: 6、5、4 的最小公倍数是 60,由于这个三位数除以6、5、4所得余数都为3,则这个数可写成 60n+3 的形式,且 n 为整数。这个数是一个三位数,满足100≤60n+3≤999,解得 2≤n≤16,即符合题意的数共有 16-2+1=15 个。

【例3】:三位数的自然数P满足:除以 3 余 2,除以 7 余 3,除以 11 余 4,则符合条件的自然数 P 有多少个?

A.15% B.20% C.25% D.27%

【答案】:B。

【解析】:先从最大的除数开始满足,满足除以11余4的最小数为15,则11n+15都满足这一条件,当n=0、1、2、3时,均不满足除以7余3,当n=4时,11n+15=59,满足除以 7余3,11和7的最小公倍数是77,则77n+59 都满足这两个条件。当n=0时,59满足除以 3余2,77和3的最小公倍数是231,则231n+59满足以上三个条件。又因为P为三位数,所以n只能取1、2、3、4,即符合条件的自然数P有4个,选择B。

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