一、余数的概念

被除数减去商和除数的积，结果叫做余数。

被除数=除数×商+余数

正余数：大于0小于除数

负余数：正余数减去除数

二、同余概念

1.同余的概念：

两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b关于m同余。

例：7÷3……1;25÷3……1;7和25关于3同余。

2.同余特性

余数的和决定和的余数;

余数的积决定积的余数;

余数的幂决定幂的余数。

三、应用

1、日期问题

例1：甲乙丙，三个人去图书馆，甲每15天去一次，乙每16天去一次，丙每17天去一次，三个人在星期一的时候相遇了，问下次相遇是星期几?

【解析】下次相遇需要经历的天数为15、16、17的最小公倍数15×16×17，一个星期7天，15×16×17除以7找余数，15÷7=2……1，16÷7=2……2，17÷7=2……3，则15×16×17除以7的余数为1×2×3=6，那再往后过6天，周一过六天就是周日。

2、解不定方程

例2：求解满足3x+y=10的x、y，x、y均为正整数。

【解析】3x除以3整除，10除以3余数为1，则y除以3余数应该为1。当y=1时，x=3;当y=4时，x=2;当y=7时，x=1。

例3：今有桃95个，分给甲、乙两个工作组的工人吃，甲组分到的桃有2/9是坏的，其他是好的，乙组分到的桃有3/16是坏的，其他是好的。甲、乙两组分到的好桃共有( )个。

A.63 B.75 C.79 D.86

【解析】甲组桃为9的倍数，乙组桃为16的倍数，设甲、乙两组桃分别为9x、16y(x、y均为正整数)，则9x+16y=95。9x除以3整除，95除以3余数为2，则16y除以3余数为2，其中16除以3余数为1，所以y除以3余数为2。当y=2时，x=7，即甲组有桃63个，乙组有32个，故所求为63×(1-2/9)+32×(1-3/16)=75，选择B。