一、数学运算

【经典真题详解】

1．互补数法

如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千时，就可以认为这两个加数互为补数，其中一个加数叫做另一个加数的补数。

【例题11(2007年浙江)

5764－1532－2468＝( )。

A．764    B．1467    C．1674   D．1764

【解析】**为D。此题可先将两个减数相加，1532＋2468＝4000，然后再用被减数减去这两个减数之和，即5764－4000＝1764。

【例题21(2004年国家)

8742÷8÷125＝( )。

A．7．092     B．8．742   C．87．42   D．874．2

【解析】**为B。此题可以转化为8742÷(8×125)＝( )。先运算括号，得1000，然后再除8742，得8．742。

2．凑整法

凑整法是简便运算中最常用的方法，即根据交换律、结合律把可以凑成10、20、30、50、100、1000…的数字放在一起先凑成整数，再进行运算，从而提高运算速度。

【例题1】(2002年国家)

999×5＋99×6＋9×8＝(    )。

A．5660    B．5661   C．5662    D．5663

【解析】**为B。这是一道乘法凑整的题。如果直接将两数相乘则较为复杂、费时间，如果用凑整法，则大大简化了计算的繁琐程度。本题可以转化为∶(1000－1)×5＋(100－1)×6＋(10－1)×8＝5000－5＋600－6＋80－8＝5661。

【例题2】(2006年广东)

8．721＋3．618＋6．382＋5．279＋4．763＝(    )。

A．23．472    B．25．921    C．28．763    D．32．478

【解析】**为C。本题为小数凑整法。认真观察题目，可以发现8．721＋5．279＝14，3．618＋6．382＝10，即本题可以转化为14＋10＋4．763＝28．763。

【例题3】(2006年江苏)1996＋1997＋1998＋2004＋2003＝( )

A．11996   B．11997    C．11998    D．11999

【解析】**为C。此题可以转化为(1996＋2004)＋(1997＋2003)＋1998＋2000＝( )。即4000＋4000＋1998＋2000＝1998。

3．尾数估算法

尾数估算法是简便运算中常用的一种排除备选项的方法。在四则运算中，如果几个数的数值较大，运算复杂，又没有发现运算规律时，可以先利用个位或小数部分进行运算得到尾数，再与选项中的尾数部分进行对比，如果有唯一的对应项，就可立即找到**。考生如果遇到备选**的尾数都不相同的题目时，可以首先考虑此种方法，快速找出**。

考生应该掌握的尾数变化的基本常识有∶

2ⁿ是以“4”为周期变化的，即尾数分别是2，4，8，6…

3ⁿ是以“4”为周期变化的，即尾数分别是3，9，7，1…

4ⁿ是以“2”为周期变化的，即4，6…

5ⁿ、6”尾数不变。

7ⁿ是以“4”为周期变化的，即7，9，3，1…

8ⁿ是以“4”为周期变化的，即8，4，2，6…

9ⁿ是以“2”为周期变化的，即9，1…

【例题1】(2004年国家)

1999¹⁹⁹⁹的末尾数字是(    )。

A．1    B．4    C．7    D．9

【解析】**为D。该题目不需要考生逐次进行计算。考生只要运用尾数估算法就能不费吹灰之力得到**。因为9的奇数次幂的尾数是9，偶数次幂的尾数是1，1999为奇数次幂，故1999¹⁹⁹⁹的末尾数字是9。

【例题2】(2002年国家)

(1．1)²＋(1．2)²＋(1．3)²＋(1．4)²的值是( )。

A．5．04    B．5．49    C．6．06    D．6．30

【解析】**为D。各项的最后一位小数相加∶8＋0＋1＋3＋0＝12，即尾数之和的尾数为2，所以84．78＋59．50＋121．61＋12．43＋66．50的尾数应该为2，故选D。

4．基准数法

当有两个以上的数相加且这些数相互接近时，可以取一个中间数作为基准数，然后用基准数乘以项数，再加上每个加数与基准数的差，从而求得它们的和。

【例题1】(2007年国家)

78＋81＋76＋85＋80＋83＝( )。

A．481    B．482    C．483   D．484

【解析】**为C。仔细观察，可知算式中的各个加数都接近80，所以把80作为基准数，即原题目变为∶80×6－2＋1－4＋5＋3＝483。

【例题IJ题2】(2008年山东)

1997＋1998＋1999＋2000＋2001＋2002的值是( )。

A．11995     B．11996    C．11997   D．11998

【解析】**为C。观察该题，发现算式中的数字都接近2000，则可以选取2000作为基准数，即原题目变为∶2000×6－3－2－1＋1＋2＝11997。

5．数学公式法

数学公式法是运用数学公式进行运算的一种简便运算方法。灵活运用一些数学公式可以大大提高运算效率，节约答题时间，因此，考生需要掌握因式分解、前n项和公式等基本公式(见“知识要点清单”)。

【例题1】(2007年北京)

32×73＋32×16的值是( )。

A．2838    B．2848    C．2148   D．2158

【解析】**为B。此题中含有相同因数32，可用公式a×6＋a×C＝a×(6＋c)来计算，即32×(73＋16)＝32X89＝2848。

【例题2】(2006年福建)

46²－82⁸－16²的值是(    )。

A．932    B．936   C．1032    D．1036

【解析】**为C。这种类型的题目可以运用平方差公式，即a²－6²＝(a＋6)(a－6)计算。46²－16²＝(46＋16)(46－16)＝1860，则1860－828＝1032。

【例题3】(2004年广东)

2＋4＋6＋…＋22＋24的值是( )。

A．153    B．154    C．155   D．156

【解析】**为D。在该题中，项数＝(24－2)÷2＋1＝12，数列之和＝(2＋24)×12÷2＝156。

6．替换法

【例题】(2004年国家)

2002×20032003－2003×20022002的值是( )。

A．－60   B．0    C．60   D．80

【解析】**为B。原式一2002×2003×10001－2003×2002×10001＝2002×2003×(10001－10001)＝0。故选B。

7．排除法

【例题】(2005年北京)

117580÷15的值是(    )。

A．7375    B．7545    C．7457   D．未给出

【解析】**为D。这道除法题的被除数尾数是0，除数的尾数是5，因此，其商数的尾数必然是双数，但是四个选项中的A、B、C三项尾数皆为单数，所以都应排除，本题选项中实际上没有给出正确**。

二、大小判断

这种类型的题目一般不需要进行具体的数字计算，只要能找到某个判断标准就可以进行判断了。比较数大小的方法很多，在解题时，要根据所给试越的特点，选择合适的比较方法。一般来说，有下列几种判断方法∶

(1)对于任意两个数，如果a－6>0，则a>6；如果a－6<0，则a<6；如果a－b＝0，则a＝b。

(2)对于任意两个数，如果不是很方便比较大小时，常选取中间值C，然后口、b分别与c比较，进而比较口、b的大小。

(3)当a、6为任意两个正数时，如果a/b>1，则a>6；如果b/2<1，则a<6；如果a/b＝1，则a＝6。当a、6为任意两个负数时，如果a/b>1，则a<6；如果a/b<1，则a>6；如果a/b＝1，则a＝b。

(4)当a、b为任意两个正数时，如果a²－b²>0，则a>b。

(5)当a、b为任意两个正数时，如果1/a>1/b，则a<b。