一、课程的性质和任务

高等数学课程是成人高等教育工学本科各专业的一门必修的重要基础理论课。它为学生学习后继课程，从事工程技术和科学研究工作，以及进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。

通过本课程的学习，应使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能。还要通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、自学能力、运算能力及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

二、教学基本要求

（一）函数、极限、连续

1、理解函数的概念。

2、了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。

3、了解反函数的概念。理解复合函数的概念。

4、熟悉基本初等函数的性质及其图形。

5、会建立简单实际问题中的函数关系。

6、了解极限的概念（对于给出ε求N、X或δ不作要求）。

7、了解左、右极限的概念。掌握极限存在的必要充分条件。

8、知道极限的一些基本性质，掌握极限的四则运算法则。

9、掌握两个极限存在准则（单调有界准则和夹逼准则）和两个重要极限。

10、了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系。掌握无穷小的性质和无穷小的比较。会用等价无穷小代换求极限。

11、理解函数在一点连续的概念。了解间断点的概念。会判断分段函数在分段点处的连续性。

12、掌握初等函数的连续性及在闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理）。

（二）一元函数微分学

1、解导数和微分的概念。了解导数和微分的几何意义，掌握函数的可导性与连续性之间的关系。

2、掌握导数和微分的运算法则及导数的基本公式。掌握微分形式不变性。

3、了解高阶导数的概念。掌握求初等函数的一阶、二阶导数的方法。会求简单函数的n阶导数。

4、会求隐函数的一阶、二阶导数及由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。

5、理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理、柯西（CauChy）定理和泰勒（Taylor）定理。会用中值定理证明有关的等式和不等式。

6、会用罗必塔（L’Hospital）法则求不定式的极限。

7、掌握利用函数的单调性证明不等式。

8、理解函数的极值概念。掌握求函数极值的方法。

9、会判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点。能描绘简单函数的图形。

10、会用导数解决一些简单的最大值、最小值应用问题。

（三）一元函数积分学

1、理解不定积分和定积分的概念，掌握它们的性质。

2、熟悉不定积分的基本公式。掌握不定积分和定积分的换元法与分部积分法。

3、熟悉变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理。掌握牛顿（Newton）一莱布尼茨（Leibniz）公式及定积分计算的有关公式。

4、了解两类广义积分的概念。会求较简单的广义积分。

5、掌握定积分的元素法。会用元素法建立定积分表达式计算一些几何量（面积、旋转体及平行截面面积已知的立体体积、弧长等）和简单的物理量（功、液压力等）。

（四）向量代数与空间解析几何

1、了解空间直角坐标系的概念。知道空间两点间的距离公式。

2、理解向量的概念。熟悉向量、向量的模、方向余弦及单位向量的坐标表达式。

3、掌握用坐标表达式进行向量运算的方法（线性运算、数量积、向量积）。知道两个向量的夹角公式及平行、垂直的条件。

4、熟悉平面的方程（点法式、一般式和截距式）及直线的方程（点向式、参数式、一般式）。能根据所给条件求平面、直线的方程。会判定平面与直线之间的位置关系。

5、了解曲面及其方程的概念。掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面、母线平行于坐标轴的柱面及常用的二次曲面的方程和图形。

6、掌握空间曲线的一般式方程和参数方程。会求简单的空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程。

（五）多元函数微分学

1、理解多元函数的概念。了解二元函数的极限和连续性的概念。知道有界闭区域上二元连续函数的性质。

2、理解偏导数与全微分的概念。知道偏导数的几何意义及全微分存在的必要条件和充分条件。会求多元初等函数的偏导数及全微分。

3、掌握多元复合函数的求导法则。会求复合函数（包括抽象函数）的一阶及二阶偏导数。

4、会求隐函数的一阶及二阶偏导数。

5、会求空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线的方程。

6、理解二元函数极值的概念。会求二元函数的极值。了解条件极值的概念。会用拉格朗日乘数法求条件极值。会求解一些简单的最大值、最小值的应用问题。

（六）多元函数积分学

1、理解二重积分、三重积分的概念。知道重积分的性质。

2、掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）和三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

3、了解两类曲线积分的概念及它们的性质。会计算两类曲线积分。

4、掌握格林（Green）公式。会用平面曲线积分与路径无关的条件计算曲线积分。

5、了解两类曲面积分的概念及性质，会计算两类曲面积分。

6、掌握高斯公式。

7、能用多元函数积分计算一些几何量（面积、体积等）和一些简单的物理量（质量、重心、功、转动惯量等）。

（七）无穷级数

l、理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念。掌握无穷级数收敛的必要条件及基本性质。

2、掌握几何级数及p-级数的收敛性。

3、掌握正项级数的比较、比值和根值判别法。

4、掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法。

5、掌握级数绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。

6、了解幂级数的收敛域及和函数的概念．知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，掌握幂级数收敛区间的求法。

7、知道函数展开成泰勒级数的充分必要条件。会利用、ex、sinx、cosx和ln(1+x)的麦克劳林（Maclaurin）级数展开式及幂级数的基本性质等将一些简单的函数展开成幂级数，

8、会利用幂级数的基本性质和一些已知幂级数的和函数求一些简单幂级数在收敛区间内的和函数。

9、知道函数展开成傅立叶（Fburier）级数的充分条件。能将定义在（-π，π）上的函数展开成傅立叶级数。能将定义在（0，π）上的函数展开成正弦或余弦级数。

（八）常微分方程

1、了解微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2、掌握变量可分离的方程、齐次微分方程、一阶线性方程和全微分方程的解法。

3、掌握可降阶的二阶微分方程的解法.

4、知道二阶线性齐次和非齐次微分方程解的性质与通解的结构。

5、掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。

6、会求自由项为pn（x）、pn（x）eλχ、eλχ（Acosωx＋Bsinωх）（其中pn（x）为х的多项式）的二阶常系数线性非齐次做分方程的解。

三、附参考教材:

《高等数学》上下册，同济大学函授数学教研室编著，同济大学出版社，2002年10月第3版

中国矿业大学

2011年12月

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