学院：理学院

加试科目：实变函数

一、集合

考查内容

1．集合及其运算。

2．集合的势。

3．n维空间中的点集。

考查要求

1．熟练掌握集合的并、交、差（补）运算和对偶原理；掌握上极限、下极限的定义及其等价表述。

2．掌握映射、对等、集合势等概念，会用Bernstein 定理讨论集合的势，会比较集合势的大小。

3．掌握可数集概念与性质，会证[0,1]点集不可数，掌握具有连续势的集，幂集及其势。

4. 掌握聚点、内点、边界点、导集、闭包、开集、闭集、完备集的概念与相关性质。

5. 了解直线上开、闭集及完备集的构造，了解Cantor集。

二、测度论

考查内容

1．外测度与可测集。

2．Lebesgue可测集的结构。

考查要求

1．理解掌握(L) 外测度概念与性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积。

2．理解可测集的 Caratheodory 条件，可测集的概念与性质。

3．了解 型集、 型集以及波雷尔集的定义，掌握可测集类、可测集与开集、闭集的关系及可侧集结构；了解当 时， 中必有不可测集存在。

三、可测函数

考查内容

1．可测函数的定义及其性质。

2．可测函数的逼近定理。

考查要求

1．掌握可测函数概念及等价表述，掌握可测函数对代数、极限运算封闭等重要性质；

掌握命题在点集几乎处处成立概念；掌握简单函数及函数在点集连续的概念。

2．掌握可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系；掌握Egoroff 定理。

3．掌握可测函数结构，Lusin 定理。

4．掌握依测度收敛、几乎处处收敛及（基本）一致收敛三者的关系。

四、Lebesgue积分

考查内容

1．可测函数的积分。

2．Lebesgue积分的极限定理。

3．Fubini定理。

考查要求

1．理解简单函数的Lebesgue积分、一般可测函数的Lebesgue积分及无界集上的Lebesgue积分的概念。

2．掌握Lebesgue积分的基本性质并会应用基本性质计算。

3．理解Lebesgue积分的三大定理（Levi定理、Fatou引理及Lebesgue控制收敛定理），会应用Lebesgue积分的三大定理证明和计算。

4．理解Lebesgue积分与黎曼积分的区别与联系。

5．了解(L)积分的几何意义，会陈述并应用重积分化累次积分的Fubini 定理。

6．掌握绝对连续函数概念；(L)不定积分与绝对连续函数的关系；Newton-Leibniz公式成立的充要条件。

参考书目：（选择其一）

1.《实变函数论与泛函分析》，曹广福编，第三版（上册），高等教育出版社，2011；

2.《实变函数论与泛函分析》，夏道行等编，第二版，高等教育出版社，2009；

3．《实变函数论》，江泽坚编，第二版，高等教育出版社，2001；

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